havo B vwo A en B
Afgeleide berekenen
Rekenmachine
Typ een functie met machten van x, zoals 3x^2 - 5x + 4, 2/x of x^(1/2). Deze rekenmachine gebruikt de machtsregel en de somregel; product-, quotiënt- en kettingregel en functies als eˣ, ln x en sin x kan hij nog niet.
Snel antwoord
Machtsregel: de afgeleide van a·xⁿ is n·a·xⁿ⁻¹. Een los getal wordt 0.
f(x) = 3x^2 − 5x + 4 geeft f'(x) = 6x − 5. De helling in x = 2 is f'(2) = 7.
Wat is de afgeleide?
De afgeleide f'(x) geeft voor elke x de helling van de grafiek van f: hoe steil de grafiek daar stijgt of daalt. Is f'(a) positief, dan stijgt de grafiek in x = a; is f'(a) negatief, dan daalt hij; is f'(a) = 0, dan loopt de grafiek daar even horizontaal, bijvoorbeeld in een top.
Voor machtsfuncties gebruik je de machtsregel: de afgeleide van a·xⁿ is n·a·xⁿ⁻¹. De exponent komt voor de term en wordt 1 kleiner. Met de somregel differentieer je elke term van een som apart.
Staat er een breuk of wortel, schrijf die dan eerst als macht: 2/x = 2x^-1 en √x = x^(1/2). De afgeleide van 2x^-1 is -2x^-2, die van x^(1/2) is 0,5x^(-1/2).
Met de afgeleide vind je ook de raaklijn in een punt: de helling is f'(a), en de lijn gaat door het punt (a, f(a)).
Voorbeelden
Gegeven f(x) = 2x^3 − 6x. Bereken f'(x) en de helling in x = 2.
- Eerste term2x^3 → 3 · 2 · x^2 = 6x^2
- Tweede term-6x → 1 · (-6) · x^0 = -6
- Afgeleidef'(x) = 6x^2 − 6
- Hellingf'(2) = 18
Bereken de afgeleide van f(x) = 2/x.
- Als machtf(x) = 2x^-1
- Machtsregel2x^-1 → -1 · 2 · x^-2 = -2x^-2
Dus f'(x) = -2x^-2, ofwel −2 gedeeld door x².
Stel een vergelijking op van de raaklijn aan f(x) = x^2 − 4x + 1 in het punt met x = 3.
- Afgeleidef'(x) = 2x − 4
- Hellingf'(3) = 2
- Puntf(3) = -2
- b uitrekenenb = -2 − 2 · 3 = -8
De raaklijn is y = 2x − 8.
Veelgemaakte fouten
Fout
De exponent wel 1 kleiner maken, maar niet ervoor zetten.
Goed
Beide: de afgeleide van 2x^3 is 3 · 2 · x^2 = 6x^2.
Fout
Het losse getal laten staan in de afgeleide.
Goed
Een constante heeft afgeleide 0: bij x^2 − 4x + 1 is f'(x) = 2x − 4.
Fout
Voor de helling in x = 3 de functiewaarde f(3) invullen.
Goed
De helling is f'(3), niet f(3). Bij de raaklijn heb je ze allebei nodig.
Fout
Bij x^-1 de exponent “1 kleiner” maken naar 0.
Goed
−1 − 1 = −2, dus de afgeleide van x^-1 is -x^-2.
Oefenen met uitleg bij elke fout kan bij differentiëren oefenen.
Afgeleide op het examen
In de syllabus voor het centraal examen 2027 staat bij wiskunde B havo (subdomein D3): “de afgeleide bepalen van machtsfuncties met rationale exponenten” en “de somregel en verschilregel gebruiken bij het bepalen van de afgeleide”. Daar hoort ook de kettingregel bij, die deze rekenmachine nog niet doet.
Bij wiskunde A vwo staat de afgeleide in subdomein D3, met de standaardfuncties “met uitzondering van” de sinus. Bij wiskunde B vwo gebruik je de afgeleide in subdomein C1 onder meer bij het opstellen van de vergelijking van de raaklijn, en in C2 staan alle regels voor het differentiëren.
Waar de afgeleide in het hele programma terugkomt, staat op wiskunde B havo en wiskunde B vwo.
Volgende stap
- Begrijp je hoe dit werkt? Uitleg en voorbeelden staan hierboven op deze pagina.
- Bekijk het visueel Simulatie Raaklijn en helling: verander de waarden en zie direct wat er gebeurt.
- Test jezelf Differentiëren oefenen, met uitleg na elk antwoord.
Leerlijn
- Verwant: ABC-formule
- Staat in: Wiskunde A vwo · Wiskunde B havo · Wiskunde B vwo Meer over het examen in de gidsen.
Wat moet ik kennen
Waar dit onderwerp in de examenstof 2027 staat. Geen volledige examenlijst.
- Wiskunde A vwo, D2 Helling: helling in een punt (syllabus 2027)
- Wiskunde A vwo, D3 Afgeleide: afgeleide van machtsfuncties (syllabus 2027)
- Wiskunde B havo, D2 Afgeleide functies: helling in een punt (syllabus 2027)
- Wiskunde B havo, D3 Bepaling afgeleide functies: machtsregel, somregel en verschilregel (syllabus 2027)
- Wiskunde B vwo, C1 Afgeleide functies: eerste afgeleide, helling en raaklijn (syllabus 2027)
- Wiskunde B vwo, C2 Technieken voor differentiëren: machtsregel en somregel (syllabus 2027)
Veelgestelde vragen
Wat is de machtsregel?
De afgeleide van a·xⁿ is n·a·xⁿ⁻¹: de exponent gaat ervoor en wordt 1 kleiner. Een los getal heeft afgeleide 0.
Wat zegt de afgeleide in een punt?
f'(a) is de helling van de grafiek van f in het punt met x = a. Bij f(x) = x^2 − 4x + 1 is f'(x) = 2x − 4, dus in x = 2 is de helling 0: daar ligt de top.
Hoe schrijf je 2/x of √x als macht?
2/x = 2x^-1 en √x = x^(1/2). Daarna werkt de machtsregel gewoon: de afgeleide van 2x^-1 is -2x^-2.