Wiskundehulp
NLEN

havovwo

Raaklijn en helling

Na deze simulatie kun je uitleggen wat de helling in een punt is, hoe een koorde met een steeds kleinere stap de raaklijn wordt, en waarom de afgeleide niet de functiewaarde is.

Niveau
Modus
Grafiek van f(x) = x³ − 3x met de raaklijn in x = 0,5 en een koorde met h = 1,0 Grafiek van f(x) = x³ − 3x met een punt in x = a, de raaklijn in dat punt en een koorde naar het punt in x = a + h. raaklijn in x = a koorde van a tot a + h
f′(a)≈f(a+h)−f(a)h

Start: f(x) = x³ − 3x, a = 0,5 en h = 1. Raaklijn in a: helling f′(0,5) = −2,25.

Punt a
Stapgrootte h
Wat zie je? Punt (0,50; −1,38): functiewaarde f(a) = −1,38, helling f′(a) = −2,25.

Uitleg

De helling van een grafiek in een punt vertel je met de raaklijn: de rechte lijn die de grafiek daar net raakt. Hoe steiler die lijn, hoe sneller de grafiek op die plek stijgt of daalt. Die helling heet de afgeleide f′(a).

Een raaklijn teken je niet zomaar door één punt. Daarom begin je met een koorde: een lijn door twee punten van de grafiek, in x = a en in x = a + h. De helling daarvan is een differentiequotiënt: (f(a + h) − f(a)) ÷ h. Maak in de simulatie h steeds kleiner. Het tweede punt schuift naar het eerste toe en de koorde draait naar de raaklijn. Bij a = 2 en h = 0,1 is de koorde al 9,61 steil, de raaklijn 9.

Helling is geen functiewaarde

De functiewaarde f(a) zegt hoe hoog de grafiek ligt. De helling f′(a) zegt hoe snel hij verandert. Die twee hoeven niets met elkaar te maken te hebben. In a = 2 is f(2) = 2, maar de helling is 9. En tussen a = −1 en a = 0 ligt de grafiek boven de x-as terwijl hij daalt: positieve functiewaarde, negatieve helling.

Voorbeelden per niveau

  • havo: de gemiddelde verandering van f(x) = x³ − 3x op het interval [1, 2] is (f(2) − f(1)) ÷ (2 − 1) = (2 − (−2)) ÷ 1 = 4. Dat is de helling van de koorde tussen die twee punten.
  • havo en vwo: met de machtsregel is f′(x) = 3x² − 3, dus f′(2) = 9. In x = −0,5 is f′(−0,5) = −2,25: daar daalt de grafiek, ook al is f(−0,5) = 1,375 positief.
  • vwo: de raaklijn in x = 2 gaat door (2; 2) en heeft helling 9. Uit 2 = 9 · 2 + b volgt b = −16, dus de raaklijn is y = 9x − 16.

Afgeleiden en raaklijnen met stappen reken je uit op afgeleide berekenen.

Opdrachten

Kies boven de grafiek de modus Opdrachten.

  1. Maak h zo klein als kan (h = 0,1) en vergelijk de koorde met de raaklijn.
  2. Zoek een punt waar de raaklijn horizontaal is.
  3. Zoek een punt waar de helling van de raaklijn 9 is.
  4. Zoek een punt waar de grafiek boven de x-as ligt, maar de raaklijn daalt.

Veelgemaakte fouten

Fout

Voor de helling in een punt de functiewaarde invullen.

Goed

De helling is f′(a), niet f(a). Bij de raaklijn heb je ze allebei nodig: f(a) voor het punt, f′(a) voor de helling.

Fout

Denken dat een punt boven de x-as altijd een stijgende raaklijn heeft.

Goed

Of de raaklijn stijgt, hangt af van het teken van f′(a), niet van het teken van f(a).

Formulekaart

Printvriendelijk — gebruik Afdrukken in de browser.

  • Differentiequotiënt f(a+h)−f(a)h
  • Raaklijn in x = a y=f′(a)·(x−a)+f(a)

Wat moet ik kennen

Domeinkoppeling CE-syllabus 2027 · geen volledige examenlijst.

havo · wiskunde B · subdomeinen D1 en D2

Toegepaste analyse, onderdelen differentiequotiënten en helling in een punt · bron syllabus wiskunde B havo 2027 (Examenblad)

vwo · wiskunde A · subdomein D2

Verandering, onderdeel helling · bron syllabus wiskunde A vwo 2027 (Examenblad)

vwo · wiskunde B · subdomein C1

Differentiaal- en integraalrekening, onderdeel eerste afgeleide, helling en raaklijn · bron syllabus wiskunde B vwo 2027 (Examenblad)

Test jezelf

Oefen met differentiëren oefenen.

Reken het uit

Afgeleide en raaklijn berekenen met stappen

Vragen

Wat is het verschil tussen een koorde en een raaklijn?

Een koorde gaat door twee punten van de grafiek. Een raaklijn raakt de grafiek in één punt en heeft daar dezelfde helling als de grafiek. Een koorde met een heel kleine stap h ligt bijna op de raaklijn.

Is de afgeleide in een punt hetzelfde als de functiewaarde?

Nee. De functiewaarde zegt hoe hoog de grafiek ligt, de afgeleide hoe snel hij daar stijgt of daalt.