havo vwo
Sinusregel en cosinusregel
Snel antwoord
Sinusregel: a ÷ sin(A) = b ÷ sin(B) = c ÷ sin(C). Cosinusregel: a² = b² + c² − 2 · b · c · cos(A). Zijde a ligt altijd tegenover hoek A.
A = 40°, B = 65°, a = 8 geeft b ≈ 11,28. b = 5, c = 7, A = 60° geeft a ≈ 6,24.
Rekenmachine
Vier modi: met de sinusregel een zijde of een hoek, met de cosinusregel een zijde of een hoek. Hoeken in graden. Bij een hoek via de sinusregel laat de tool zien of er een tweede driehoek mogelijk is.
Uitleg
SOS CAS TOA werkt alleen in een rechthoekige driehoek. In elke andere driehoek gebruik je de sinusregel of de cosinusregel. Daarbij ligt zijde a tegenover hoek A, zijde b tegenover hoek B en zijde c tegenover hoek C.
Sinusregel: a ÷ sin(A) = b ÷ sin(B) = c ÷ sin(C). Gebruik hem als je een zijde en de hoek ertegenover kent, plus nog één hoek of zijde. Zoek je een hoek, let dan op: sin(B) hoort bij twee hoeken (B en 180° − B). Soms passen ze allebei en zijn er twee driehoeken mogelijk.
Cosinusregel: a² = b² + c² − 2 · b · c · cos(A). Gebruik hem als je twee zijden en de hoek ertussen kent, of alle drie de zijden. Bij A = 90° is cos(A) = 0 en houd je de stelling van Pythagoras over.
In de examenstof 2027 staan de sinus- en cosinusregel bij wiskunde B havo (afstanden en hoeken in concrete situaties) en wiskunde B vwo (meetkundige vaardigheden). Voor een rechthoekige driehoek gebruik je sinus, cosinus en tangens. Sinus als functie van de tijd, met amplitude en periode, is iets anders: dat staat bij de formule van een sinusoïde.
Welke regel kies je?
- Ken je een zijde en de hoek ertegenover? Dan de sinusregel.
- Ken je twee zijden en de hoek ertussen? Dan de cosinusregel voor de derde zijde.
- Ken je alle drie de zijden? Dan de cosinusregel voor een hoek.
Voorbeelden per niveau
A = 40°, B = 65°, a = 8. Bereken b.
- Sinusregela ÷ sin(A) = b ÷ sin(B)
- Invullen8 ÷ sin(40°) = b ÷ sin(65°)
- b vrijmakenb = 8 · sin(65°) ÷ sin(40°) = 8 · 0,9063 ÷ 0,6428 ≈ 11,28
b = 5, c = 7, A = 60°. Bereken a.
- Cosinusregela² = b² + c² − 2 · b · c · cos(A)
- Invullena² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos(60°) = 25 + 49 − 70 · 0,5 ≈ 39
- Wortela = √39 ≈ 6,24
a = 6, b = 5, c = 7. Bereken hoek A.
- cos(A) vrijmakencos(A) = (5² + 7² − 6²) ÷ (2 · 5 · 7) = 38 ÷ 70 ≈ 0,5429
- Hoek terugrekenenA = cos⁻¹(0,5429) ≈ 57,12°
a = 6, b = 8, A = 40°. Bereken hoek B.
- Invullensin(B) = 8 · sin(40°) ÷ 6 = 0,8571
- Hoek terugrekenenB = sin⁻¹(0,8571) ≈ 58,99°
- Tweede mogelijkheidOok 180° − 58,99° = 121,01° past, want 40° + 121,01° < 180°
Antwoord: B ≈ 58,99° of B ≈ 121,01°. Er zijn twee driehoeken mogelijk.
Veelgemaakte fouten
Fout
SOS CAS TOA gebruiken in een driehoek zonder rechte hoek.
Goed
Zonder rechte hoek: sinusregel of cosinusregel.
Fout
Zijde a koppelen aan een hoek die eraan vastzit.
Goed
Zijde a ligt tegenover hoek A. Zet de letters eerst in je schets.
Fout
sin(B) = 0,8571, dus B ≈ 58,99° en klaar.
Goed
Controleer ook 180° − 58,99° = 121,01°. Past die hoek in de driehoek, dan zijn er twee oplossingen.
Oefenen
Probeer het eerst zelf en controleer daarna met de rekenmachine hierboven.
havo b = 3, c = 4 en de hoek ertussen is 90°. Hoe lang is a?
a = 5
cos(90°) = 0, dus a² = 9 + 16 = 25: dat is Pythagoras.
vwo a = 9, b = 7, A = 50°. Bereken B.
B ≈ 36,57°
sin(B) = 7 · sin(50°) ÷ 9 ≈ 0,5958. 180° − 36,57° past niet, want 50° + 143,43° > 180°.
Veelgestelde vragen
Wat is de formule voor de sinusregel?
a ÷ sin(A) = b ÷ sin(B) = c ÷ sin(C), met zijde a tegenover hoek A. Je gebruikt steeds twee van de drie breuken.
Hoe werkt de cosinusregel?
a² = b² + c² − 2 · b · c · cos(A). Ken je twee zijden en de hoek ertussen, dan krijg je de derde zijde. Ken je drie zijden, dan maak je cos(A) vrij en reken je de hoek terug.
Wanneer gebruik je de sinusregel en wanneer de cosinusregel?
De sinusregel als je een zijde en de hoek ertegenover kent. De cosinusregel als je twee zijden en de hoek ertussen kent, of alle drie de zijden.
Waarom zijn er soms twee antwoorden bij de sinusregel?
Een hoek B en de hoek 180° − B hebben dezelfde sinus. Past ook de stompe hoek in de driehoek, dan zijn er twee driehoeken met deze gegevens.
Wat is het verschil met SOS CAS TOA?
SOS CAS TOA geldt alleen in een rechthoekige driehoek. De sinusregel en de cosinusregel werken in elke driehoek.
Waar staat dit in de examenstof?
Bij wiskunde B havo onder afstanden en hoeken in concrete situaties, en bij wiskunde B vwo onder meetkundige vaardigheden.