havo vwo
Logaritme berekenen
Snel antwoord
ᵍlog(a) is de exponent x waarvoor gˣ = a. Zo is ²log(8) = 3, omdat 2³ = 8. Is er geen mooie exponent, reken dan ᵍlog(a) = log(a) ÷ log(g).
²log(8) = 3. ²log(5) ≈ 2,32. 500 · 1,04ˣ = 800 geeft x ≈ 11,98.
Rekenmachine
Vier modi: een logaritme met elk grondtal, ln (grondtal e), de vergelijking b · gˣ = c en de rekenregels (plus, min of keer). Bij een hele of eenvoudige exponent zie je het exacte antwoord, anders een afgerond antwoord met een controle. Een macht uitrekenen doe je bij machten berekenen.
Uitleg
Een logaritme is een exponent. ᵍlog(a) vraagt: tot welke macht moet je het grondtal g doen om a te krijgen? Omdat 2³ = 8, is ²log(8) = 3. Een logaritme is dus de omgekeerde bewerking van een macht, zoals delen de omgekeerde bewerking is van vermenigvuldigen.
Waarom heb je het nodig? Bij exponentiële groei staat de onbekende in de exponent. Een spaarbedrag van € 500 groeit met 4% per jaar: na hoeveel jaar is het € 800? Dan los je 500 · 1,04ˣ = 800 op. Delen door 500 geeft 1,04ˣ = 1,6, en de logaritme haalt de x uit de exponent: x ≈ 11,98 jaar.
Grondtal 10 en e. Staat er log zonder grondtal, dan is het grondtal 10: log(1000) = 3. ln is de logaritme met grondtal e (ongeveer 2,71828). Een logaritme bestaat alleen van een getal groter dan 0, en het grondtal is groter dan 0 en niet 1.
Rekenregels. Bij hetzelfde grondtal geldt: ᵍlog(a) + ᵍlog(b) = ᵍlog(a · b), ᵍlog(a) − ᵍlog(b) = ᵍlog(a ÷ b) en n · ᵍlog(a) = ᵍlog(aⁿ). Je rekent elk ander grondtal om met ᵍlog(a) = log(a) ÷ log(g). In de examenstof 2027 staan de rekenregels voor logaritmen bij wiskunde A vwo; logaritmische functies horen bij wiskunde B havo en B vwo. Hoe je een heel groot getal als 4,2 · 10⁷ schrijft, zie je bij wetenschappelijke notatie; de exponent van 10 is daar precies de logaritme, afgerond naar beneden.
Zo los je b · gˣ = c op in 3 stappen
- Deel door de beginwaarde. 3 · 2ˣ = 24 wordt 2ˣ = 24 ÷ 3 = 8.
- Schrijf de exponent als logaritme. x = ²log(8).
- Reken de logaritme uit. 2³ = 8, dus x = 3. Is er geen mooie exponent, gebruik dan log(c ÷ b) ÷ log(g).
Voorbeelden per niveau
Bereken ²log(5)
- Betekenis²log(5) is de exponent x waarvoor 2^x = 5.
- Omrekenen²log(5) = log(5) ÷ log(2).
- Uitrekenen0,698970 ÷ 0,301030 ≈ 2,3219
Antwoord: ²log(5) ≈ 2,32.
Los op: 500 · 1,04ˣ = 800
- Delen door b1,04^x = 800 ÷ 500 = 1,6
- Logaritmex = log(1,6) ÷ log(1,04)
- Uitrekenen0,204120 ÷ 0,017033 ≈ 11,9836
Antwoord: x ≈ 11,98, dus na 12 hele jaren is het bedrag voor het eerst minstens € 800.
Bereken ²log(4) + ²log(8)
- Rekenregelᵍlog(a) + ᵍlog(b) = ᵍlog(a · b)
- Samennemen²log(4) + ²log(8) = ²log(32)
- Exponent zoeken2^5 = 32
Antwoord: 5.
Bereken ³log(54) − ³log(2)
- Rekenregelᵍlog(a) − ᵍlog(b) = ᵍlog(a ÷ b)
- Samennemen³log(54) − ³log(2) = ³log(27)
- Exponent zoeken3^3 = 27
Antwoord: 3.
Veelgemaakte fouten
Fout
²log(8) = 8 ÷ 2 = 4.
Goed
Zoek de exponent: 2³ = 8, dus ²log(8) = 3.
Fout
log(8) ÷ log(2) = log(8 ÷ 2) = log(4) ≈ 0,60.
Goed
log(8) ÷ log(2) = ²log(8) = 3. De min-regel geldt voor log(a) − log(b), niet voor delen.
Fout
log(2 + 3) = log(2) + log(3).
Goed
log(2) + log(3) = log(6) ≈ 0,78, terwijl log(5) ≈ 0,70. Een som binnen de log kun je niet splitsen.
Oefenen
Probeer het eerst zelf en controleer daarna met de rekenmachine hierboven.
havo Bereken ³log(81).
4
3⁴ = 81.
vwo Los op: 100 · 0,5ˣ = 25.
x = 2
0,5ˣ = 25 ÷ 100 = 0,25 en 0,5² = 0,25.
Veelgestelde vragen
Wat is ²log 8?
3, want 2³ = 8. ²log(8) vraagt tot welke macht je 2 moet doen om 8 te krijgen.
Hoeveel is log 5?
log(5) ≈ 0,70. Zonder grondtal is het grondtal 10, en 10 tot de macht 0,70 is ongeveer 5.
Hoe reken je met logaritmes?
Gebruik de rekenregels bij hetzelfde grondtal: ᵍlog(a) + ᵍlog(b) = ᵍlog(a · b), ᵍlog(a) − ᵍlog(b) = ᵍlog(a ÷ b) en n · ᵍlog(a) = ᵍlog(aⁿ). Zo is ²log(4) + ²log(8) = ²log(32) = 5.
Hoe bereken je een logaritme met een ander grondtal op de rekenmachine?
Deel twee logaritmen: ᵍlog(a) = log(a) ÷ log(g). Dat werkt op elke rekenmachine met een log-toets. Zo is ²log(5) = log(5) ÷ log(2) ≈ 2,32.
Wat is het verschil tussen log en ln?
log zonder grondtal heeft grondtal 10, ln heeft grondtal e, ongeveer 2,71828. Daarom is log(10) = 1 en ln(10) ≈ 2,30.
Waar staat dit in de examenstof?
Op wiskunde A vwo staan de rekenregels voor logaritmen bij Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden. Op wiskunde B havo en B vwo horen logaritmische functies bij Standaardfuncties.