havo vwo
Ongelijkheden oplossen
Snel antwoord
Los een ongelijkheid op zoals een vergelijking, maar laat het teken omklappen als je deelt of vermenigvuldigt met een negatief getal. Bij een kwadratische ongelijkheid zoek je eerst de nulpunten en lees je de oplossing af uit een schets.
−3x + 4 < 10 geeft x > −2. x² − 2x − 3 < 0 geeft −1 < x < 3.
Rekenmachine
Twee modi: een lineaire ongelijkheid ax + b ? c en een kwadratische ongelijkheid ax² + bx + c ? 0. Typ het teken als <, <=, > of >=. De oplossing verschijnt ook in intervalnotatie.
Uitleg
Een ongelijkheid zoals −3x + 4 < 10 los je bijna op zoals een vergelijking: je zet de x aan één kant. Het verschil zit in één regel: deel of vermenigvuldig je met een negatief getal, dan klapt het teken om. Uit −3x < 6 volgt x > −2, niet x < −2.
Kwadratische ongelijkheid. Bij x² − 2x − 3 < 0 los je eerst de vergelijking x² − 2x − 3 = 0 op (x = −1 of x = 3). Daarna kijk je in een schets: een dalparabool ligt tussen de nulpunten onder de x-as, dus −1 < x < 3. De nulpunten zelf vind je ook bij de abc-formule.
Intervalnotatie. Een rond haakje ⟨ of ⟩ betekent dat de grens er niet bij hoort, een vierkant haakje [ of ] dat hij er wel bij hoort. Met ← en → geef je aan dat het interval doorloopt. Zo is x > −2 hetzelfde als ⟨−2; →⟩ en x ≤ 4 hetzelfde als ⟨←; 4].
In de examenstof 2027 staan ongelijkheden bij wiskunde B havo en B vwo (vergelijkingen en ongelijkheden). Een gewone lineaire vergelijking zonder ongelijkheidsteken los je op bij lineaire vergelijking oplossen. Bij een lineaire ongelijkheid bepaalt de richtingscoëfficiënt of de lijn stijgt of daalt, en dus aan welke kant de oplossingen liggen.
Zo los je een kwadratische ongelijkheid op in 3 stappen
- Maak er een vergelijking van. x² − 2x − 3 = 0 geeft x = −1 of x = 3.
- Maak een schets. a = 1 > 0, dus een dalparabool: tussen −1 en 3 ligt hij onder de x-as.
- Lees de oplossing af. Kleiner dan 0 betekent onder de x-as: −1 < x < 3.
Voorbeelden per niveau
Los op: −3x + 4 < 10
- b naar rechts−3x < 10 − 4 = 6
- Delen door aDelen door −3, een negatief getal: het teken klapt om. x > −2
- Intervalnotatie⟨−2; →⟩
Los op: x² − 2x − 3 ≥ 0
- Eerst de vergelijkingD = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16
- Nulpuntenx = −1 of x = 3
- Intervalnotatie⟨←; −1] en [3; →⟩
Antwoord: x ≤ −1 of x ≥ 3. Bij een bergparabool, zoals −x² + 4 > 0, ligt het stuk tussen de nulpunten juist boven de x-as: −2 < x < 2.
Veelgemaakte fouten
Fout
−3x < 6, dus x < −2.
Goed
Delen door −3 laat het teken omklappen: x > −2.
Fout
x² < 9, dus x < 3.
Goed
Ook −4 is kleiner dan 3 maar (−4)² = 16. De oplossing is −3 < x < 3.
Fout
x ≥ 2 schrijven als ⟨2; →⟩.
Goed
De grens 2 hoort erbij, dus een vierkant haakje: [2; →⟩.
Oefenen
Probeer het eerst zelf en controleer daarna met de rekenmachine hierboven.
havo Los op: 2x + 3 < 11.
x < 4
2x < 8 en delen door 2 (positief): x < 4, dus ⟨←; 4⟩.
vwo Los op: x² − 4x + 4 > 0.
x ≠ 2
x² − 4x + 4 = (x − 2)², dat is 0 bij x = 2 en verder overal positief.
Veelgestelde vragen
Wanneer verandert het symbool van een ongelijkheid?
Als je beide kanten deelt door of vermenigvuldigt met een negatief getal. Uit −3x < 6 volgt dan x > −2. Optellen en aftrekken veranderen het teken niet.
Hoe los je een kwadratische ongelijkheid op?
Los eerst de vergelijking op om de nulpunten te vinden, maak een schets van de parabool en kijk waar de grafiek boven of onder de x-as ligt. Bij x² − 2x − 3 < 0 is dat −1 < x < 3.
Wat betekenen ⟨ en [ in een interval?
Een rond haakje ⟨ of ⟩ betekent dat de grens er niet bij hoort, een vierkant haakje [ of ] dat hij er wel bij hoort. Met ← of → loopt het interval door tot oneindig.
Wat is het verschil tussen een vergelijking en een ongelijkheid?
Een vergelijking heeft meestal een of enkele oplossingen, een ongelijkheid een heel gebied. Bij 2x + 3 = 11 is x = 4, bij 2x + 3 < 11 voldoet elke x kleiner dan 4.
Wat als de parabool de x-as niet raakt?
Dan is de discriminant negatief en ligt de parabool helemaal boven of helemaal onder de x-as. Bij x² + 1 > 0 voldoet elke x, bij x² + 1 < 0 geen enkele.
Waar staat dit in de examenstof?
Bij wiskunde B havo en B vwo, onder vergelijkingen en ongelijkheden.