havo vwo
Ontbinden in factoren
Snel antwoord
Haal eerst een gemeenschappelijke factor buiten haakjes. Zoek bij x² + bx + c twee getallen met product c en som b.
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). x² − 9 = (x − 3)(x + 3). 2x² + 6x = 2x(x + 3).
Rekenmachine
Vul a, b en c in van ax² + bx + c (hele getallen, ook 0 of negatief). De tool kiest de methode: buiten haakjes, verschil van twee kwadraten, som-product of de a·c-methode, en laat zien waarom het soms niet lukt.
Uitleg
Ontbinden hoort bij algebra. Het is het omgekeerde van haakjes wegwerken: je schrijft een som als een product. Dat is handig bij vergelijkingen, want een product is 0 als één van de factoren 0 is. Uit (x − 4)(x + 3) = 0 volgt meteen x = 4 of x = −3.
- Buiten haakjes halen: zoek de grootste factor die in elke term zit. 2x² + 6x = 2x(x + 3).
- Verschil van twee kwadraten: a² − b² = (a − b)(a + b). x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
- Som-product (bij x²): zoek twee getallen met product c en som b. Bij x² + 5x + 6 zijn dat 2 en 3.
- a·c-methode (a is niet 1): zoek twee getallen met product a · c en som b, splits de middelste term en groepeer.
Lukt het niet met hele getallen, dan los je de vergelijking op met de ABC-formule. De discriminant laat zien waarom: is D = b² − 4ac geen kwadraat, dan zijn er geen nette factoren. Gemeenschappelijke factoren vind je ook met de GGD.
Zo ontbind je x² − x − 12 in 3 stappen
- Product en som. Je zoekt twee getallen met product −12 en som −1.
- Probeer de paren. 3 en −4: 3 × (−4) = −12 en 3 + (−4) = −1.
- Schrijf de factoren. x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3). Controle: haakjes wegwerken geeft weer x² − x − 12.
Voorbeelden per niveau
Los op: x² − x − 12 = 0
- Som-productZoek twee getallen met product −12 en som −1: 3 en −4, want 3 × (−4) = −12 en 3 + (−4) = −1.
- Factorenx² − x − 12 = (x − 4)(x + 3)
- Product is 0x − 4 = 0 of x + 3 = 0
Antwoord: x = 4 of x = −3.
Ontbind 3x² − 12
- Eerst buiten haakjesGGD van 3, 0 en 12 is 3: 3x² − 12 = 3(x² − 4).
- Verschil van twee kwadratenx² − 4 = (x)² − 2², en a² − b² = (a − b)(a + b).
Antwoord: 3(x − 2)(x + 2).
Ontbind 6x² − 7x − 3
- Product-som (a·c-methode)a · c = 6 · (−3) = −18. Twee getallen met product −18 en som −7: 2 en −9. Splits de middelste term: 6x² + 2x − 9x − 3.
- Groeperen2x(3x + 1) − 3(3x + 1) = (3x + 1)(2x − 3)
Antwoord: (3x + 1)(2x − 3).
Veelgemaakte fouten
Fout
x² + 5x + 6 = (x + 5)(x + 1): de som is 6.
Goed
De twee getallen moeten product 6 en som 5 hebben: 2 en 3, dus (x + 2)(x + 3).
Fout
x² − 9 = (x − 3)².
Goed
(x − 3)² = x² − 6x + 9. Goed is (x − 3)(x + 3).
Fout
2x² + 6x = 2(x² + 3x), klaar.
Goed
Er zit ook nog een x in elke term: 2x(x + 3).
Oefenen
Probeer het eerst zelf en controleer daarna met de rekenmachine hierboven.
havo Ontbind x² + 7x + 10.
(x + 2)(x + 5)
2 × 5 = 10 en 2 + 5 = 7.
vwo Ontbind 2x² + 7x + 3.
(2x + 1)(x + 3)
a · c = 6: de getallen 1 en 6 geven 2x² + x + 6x + 3 = x(2x + 1) + 3(2x + 1).
Veelgestelde vragen
Wat is ontbinden in factoren?
Een som schrijven als een product, bijvoorbeeld x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). Het is het omgekeerde van haakjes wegwerken.
Hoe vind je de twee getallen bij som-product?
Schrijf de paren op die vermenigvuldigd c geven en kijk welk paar opgeteld b geeft. Bij x² − x − 12: 3 en −4, want 3 × (−4) = −12 en 3 + (−4) = −1.
Wanneer gebruik je het verschil van twee kwadraten?
Als er een kwadraat min een kwadraat staat, zonder x-term: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Wat doe je als a niet 1 is?
Haal eerst een gemeenschappelijke factor buiten haakjes. Blijft a niet 1, gebruik dan de a·c-methode: twee getallen met product a · c en som b, de middelste term splitsen en groeperen.
Wat als ontbinden niet lukt?
Dan zijn er geen twee hele getallen die passen; de discriminant b² − 4ac is dan geen kwadraat. Los een vergelijking dan op met de ABC-formule.